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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律  ^}d4<Y#  
wh5mTg.[  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. [ &S _n  
T=^(({|>  
　　1、三角函数本质： [G2X5u%yS  
5-z[/e!  
　　三角函数的本质来源于定义 Ytm,lh$c%  
K\'>]AdJX  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 XC:3yLk  
4=p6~SY '  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Q0=~ &[~Jj  
Oyw}XD I  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： u)V=t+04  
cA='4{  
　　推导： :YL9:f-ud  
[y-7>W  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 gR(j;j|C  
y$<f?YBB  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) MaKi~bgu  
w(W`irdd  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 3Z8y R+  
J~cp)/aD  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 P-<-DQ}  
0LEfyli7  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） nvZo%mGr8  
!MgM<  
　　[1] ^r70 %-  
}-3."Qbz^  
　　两角和公式 v=yZ-[U[  
XsW[@Uct  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 1,M+z  
-X84G(us7  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  13cz (T  
,v@HZM  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB >c*A5zcRU  
E~ "tN  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB efoF1;cu  
Ae//z9@]/  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) e2 ,nO*  
c5 E}}7]8  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Cb&)fh  
d:g4Nw  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  WznpVV  
:?/{_  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) hBt:QG;2  
[!PgBCS  
倍角公式 CGYv6X  
,g@Q+WG(#  
　　Sin2A=2SinA•CosA KB JV~#  
}F[{%rfv  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 #VR;^Dg|  
NRFzv#d  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） X<gD.`6X  
$W;[%P$  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） h.X\#H>n#  
 $&]~{K  
三倍角公式 \9QkG;?  
Ob =Q>4  
　　 1|j^I_V<Ec  
6nk!3#-  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) *pga-Q0  
I-j0<  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 1`38(!  
~} n.K  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) \/SlUqI  
8^2P$T./  
三倍角公式推导 UCIb#p  
ID]&M,ua  
　　sin3a {,/_v`A  
q)xU-)}  
　　=sin(2a+a) HPaWqpS  
=x*Sq &  
　　=sin2acosa+cos2asina Zq :h_s|  
F=So}e}  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina K'"_,m}3  
>X0>~L.:%e  
　　=3sina-4sin³a ^&.0gR`8  
+YDEh}~ ~  
　　cos3a 3eHdd  
A;D*sN1`  
　　=cos(2a+a) 9 D|8&  
3.cNPC7  
　　=cos2acosa-sin2asina ~v1fa  
^nH(4FIX   
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa "0*}C+r  
[+*BM+I  
　　=4cos³a-3cosa JG7Xr0 uD  
jw;]M4)  
　　sin3a=3sina-4sin³a N J"F?8.  
w6bcZX'Z  
　　=4sina(3/4-sin²a) X6Kx4  
-Fo K}w  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 9oGAxx ktC  
:,Os<`&1qJ  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) M=gf)}%  
KKLo {=v{  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 7LuWp YP  
X; /)J{dy  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =" 9\[W  
&F  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 7%EDZ,"P  
\_u5p  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ^iLWlR  
)gYP`Ln6  
　　=4cosa(cos²a-3/4) =#Hyaf{ [  
mobOt+Qh%  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 8aq_l=kr  
,6L4:xU Q  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) m(h<S8l \  
DCz?-J  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ]cjp@OgF$  
m+VjZT D)L  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} mo6,U9*  
Tg@3l Wm~  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) @r:I\"  
X rR[V  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] F<v&ga2Dp  
ucA%'I6#  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Y%#T RrF  
S:V/0N<U  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) .gk!H'/'Q  
29[iKlM   
　　上述两式相比可得 4]Y6wIg*K  
] 7fIb  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ?o&au  
PDpg%!<'  
半角公式 (A,6dK"e  
0{:GOT@N?  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); D2|L yD  
M\}EjD&  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 1W#t+WF6`  
kb8B*[1x?  
和差化积 1/\8anM  
R Ze'#A  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Kw*Vpt*  
W ?D=skY  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 5Yq=jG$  
Mx{JOFH?  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] lE>X0NO  
%cO|dAikW  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] H_<o#lI,  
`O"hE0l^  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) {oN,-2/  
A#SAIL~M_'  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Y}iH^lS b  
7JibiZ  
积化和差 k{l mAUhUy  
'lqb4:f!  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ij1]\0B+  
CpzYG3W  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] <,_]j  
X8t[F` Oc  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 5e&h^;&cf4  
t_?>7Ax{7  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] N4Lsc0m>  
:)8}S?C+Q*  
诱导公式 g]ePP*G"  
X,U/C@NHN  
　　sin(-α) = -sinα FHPUc5#@  
b}-8' 1  
　　cos(-α) = cosα ?ls(/&w  
Gf+5z  
　　sin(π/2-α) = cosα D;@(,E  
6R9Kbe  
　　cos(π/2-α) = sinα l\i)!WU1  
)(]H`|Rz  
　　sin(π/2+α) = cosα !' Yf iZg  
q%${S K1  
　　cos(π/2+α) = -sinα D]l1<1|  
?#}y:e  
　　sin(π-α) = sinα kjUq$~c  
]uoPdNM\  
　　cos(π-α) = -cosα [FVR gyr  
u w#Fe!  
　　sin(π+α) = -sinα ;qtFZ%uab  
yP2cntRt  
　　cos(π+α) = -cosα xi#kF2%  
.Ssth{  
　　tanA= sinA/cosA PW[S 1  
.c^G& ~k'  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 2z]hdNwz  
G1sZYQ;D  
　　tan（π/2－α）＝cotα o$DmHywz  
zgVhMR(_  
　　tan（π－α）＝－tanα JM%5Po\|uR  
/r&-b4r13  
　　tan（π＋α）＝tanα <dV[ :\`h  
%F3BeDn,/  
万能公式 gG6O(h  
}S%wNa-`  
　　 -5aH`n;L  
]bxQ"Wg3H  
其它公式 d4KG]eJ  
pI)-("f.  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 5exuc  
}a8BlTY5=  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 V_r %FvFE  
NWGSD}FTQ  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ?SK^b'5  
75:IKjuW3  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可  MPWie  
`'^h|A35B  
　　对于任意非直角三角形,总有 K_w-NEc {  
?[VbIFW  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC yIT61{E"  
J8gR+AT  
　　证: u..0I->^;~  
u')|^d}"`  
　　A+B=π-C wJ#29<  
V){blt%* /  
　　tan(A+B)=tan(π-C) D0_ Sia^,  
t8*( 5L}  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) s&|i -iB  
%y[E`$a7  
　　整理可得 Li^N::  
O:c*j2Lbt  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ,q9:<0  
l<dh-"  
　　得证 6gjnf2-O1L  
zM)v)eg|  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 PX:,?L  
fWO8jqj3k  
其他非重点三角函数 gz`f'p|{X  
 'W1Bu  
　　csc(a) = 1/sin(a) `F5 qCd  
POSkEJa@+  
　　sec(a) = 1/cos(a) sWh`5{d$4  
uhFl3~fK  
　　 \ Fr?& q  
wu*Z~[ Kt  
双曲函数 hRk`O S  
Z64n2c5Gj  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 B[0> 3U7  
0{pvm  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 `tP&S~YW  
!,z4i%OHX"  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) I$\[<  
xkQ^2HMO  
　　公式一： 1~/F Z}j  
)u2ST`+  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： *R%K;e4$  
p:OR-hU  
　　sin（2kπ＋α）= sinα |g/t  
!h?F})*  
　　cos（2kπ＋α）= cosα @5{OMw  
pvj'~y'X  
　　tan（kπ＋α）= tanα vy&Cf3 5?  
W$zH5_}Pj  
　　cot（kπ＋α）= cotα Q|ky> [  
]+*1'%ui  
　　公式二： ft235A.}  
p ~JpMak~  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： b$F%*s V  
Kn|Us5,Q  
　　sin（π＋α）= -sinα >'n$(DiV  
\ZlEoGb  
　　cos（π＋α）= -cosα "+]+LX2gN  
Qj-p`gDYV$  
　　tan（π＋α）= tanα [Gc77[!&  
?c`/"9]EFE  
　　cot（π＋α）= cotα *13jEY  
eiy;Z X@  
　　公式三： xV*Y~(|Y  
wBFJo)L  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 9S FPMDOC,  
o8 rV | i*  
　　sin（-α）= -sinα o+sToA27  
13_"$5r3{  
　　cos（-α）= cosα igBi1TOc  
~j~Ev/e7  
　　tan（-α）= -tanα dzY/EKy  
5 6b{-{e'  
　　cot（-α）= -cotα uJGO)c  
jJs)@2K  
　　公式四： h:*G8W  
)ZNpR?b  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ;pBpd~  
-8g;wj  
　　sin（π-α）= sinα `ic4Bz  
X@GH2^(  
　　cos（π-α）= -cosα ./7b3Vb  
aXeE|sX  
　　tan（π-α）= -tanα YgDK"|fw  
6NA@tqn]K  
　　cot（π-α）= -cotα SxYZxT!^  
3C w  
　　公式五： BlrJT,s  
qb B5Q`  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： "DuFuK  
u WRV1xW  
　　sin（2π-α）= -sinα Q1`th]% 43  
amh{N0oA}  
　　cos（2π-α）= cosα [<e; CM|  
f,S=v)_  
　　tan（2π-α）= -tanα 3g]Vyhgel"  
Uzhyvth  
　　cot（2π-α）= -cotα $%9\z  
^HqA*>  
　　公式六： r+uMri-p  
qg:j&^%  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： .uK7L?  
 7G=\M  
　　sin（π/2+α）= cosα (I glK  
P`{,3)N  
　　cos（π/2+α）= -sinα f{}$^  
6eB,CCtTu  
　　tan（π/2+α）= -cotα l,`RN?q  
|HC\XPh]@  
　　cot（π/2+α）= -tanα g(.%.IO1$Y  
aB[F]&XH  
　　sin（π/2-α）= cosα );_9]jZ  
*s>*&`@  
　　cos（π/2-α）= sinα yiMJ 6n  
tObX3C  
　　tan（π/2-α）= cotα 74#3]OBwO  
xh #F_#  
　　cot（π/2-α）= tanα <g#F$*0pb  
:, 4}V\  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Wg%bQ+bY  
|DAr(=E\Q  
　　cos（3π/2+α）= sinα >[X[D<i0  
L/\`@r`  
　　tan（3π/2+α）= -cotα H MLD  
%s&m2_+la7  
　　cot（3π/2+α）= -tanα $5=2 @*  
LtwN^9O7  
　　sin（3π/2-α）= -cosα LfY}q  
DRS ="^E+  
　　cos（3π/2-α）= -sinα | H.1bd  
PdEcsHb S  
　　tan（3π/2-α）= cotα XxW=r$rX  
B.[^I  
　　cot（3π/2-α）= tanα 0 O%yyR_U  
OcP@[4,?  
　　(以上k∈Z) z8!q}RXd}  
B [{(puH  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 P(@0\!  
jvrs L -  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = F_rth  
=m|;R&|Y  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 4SDI$"  
FMfvdaCa  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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