永福╉留痕

三角函数内容规律 Z&L]km?  
=Rq/kf/}@  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. gGt Rhy  
>
FuYf  
　　1、三角函数本质： Metj_xE  
WI(Snl^  
　　三角函数的本质来源于定义 j-qd!hO=?  
iDw3r)O`  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 x~: H~
  
yM-)p'p  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Miz7vKtQ1  
tt]J"xMq 2  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： -Gz(e9 `  
b|?0J}w  
　　推导： }~ .MRRb(  
T@{OyvS(S  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ftRld.|   
=\hY@m/_  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Jb+/T-dg`X  
*B}u^>n  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) |,BeIRH  
p^T-$ H  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 |4:M}g?7  
VZMMz:
<:E  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） *Ckn,!t\>  
p hV/s  
　　[1] MlZYTUr6  
=Ty`>iiGn  
　　两角和公式 2NBV(L(  
( 2UGh?"Ja  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Cut4q|gv2  
k q,`+~F  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  %h]b[<19/  
[?OY{:C  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 98G(x
[>~!  
']BL&2Q  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB .|Irb*#!  
; (5"JrH!!  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) QK` O? |-  
nIRZQbif  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) rj*A!IL3J  
2(goBKs e  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  =n9h9c(H  
G:/#g:  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) C#X
&gz  
XBl|aag=  
倍角公式 ] ue;Sj"Yd  
sTZ)50>  
　　Sin2A=2SinA•CosA } <j"JSJ  
TvINQ}F`  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 z aLrnwmz  
3m?r3 a  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） "<(Q3=00Bk  
0sDJ}\P/K  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） :jmvWS@T  
48.0rEv  
三倍角公式 `K f2p +  
8dr I h7  
　　 93muUITL  
6JB4M  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) WKJeu$ Z7  
^2hZfG3U  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) D6KkW1  
&>7k,!  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) zcdvz`  
&?4?KBfB  
三倍角公式推导 9}3  
d$Y: y>  
　　sin3a ~LuQB|xu  
Oxk446E\,  
　　=sin(2a+a) mBxb0^3H  
?.?
,f4  
　　=sin2acosa+cos2asina zoW.n:ke'  
Vl;ZjO4 p  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina b/)1x'
 
@?ypB"A  
　　=3sina-4sin³a Br-VrCh  
,/e_||':cQ  
　　cos3a X*q~{k  
;ND/oqb  
　　=cos(2a+a) f7rt#HoA  
JZ%nB9#  
　　=cos2acosa-sin2asina ]_OyIBm  
8$X$Xw<  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa KB^0,>5
 
`#"O0_1:  
　　=4cos³a-3cosa /r>% Ai0  
||> ?m|@  
　　sin3a=3sina-4sin³a xp]c4Bv3ly  
A?9r2 **(  
　　=4sina(3/4-sin²a) ~5W2YT  
YFm}{~!6*  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] cS"`ARC`K$  
s"3
JBcR  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) sv|w||`  
J\+CnO=  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ]fst K  
?|:b qI  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 1xA]o=q  
X?)tkQem  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Yvf9Bk  
=7}[0K  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Q+vfZO"  
;w2pJlc?z  
　　=4cosa(cos²a-3/4) y@J`ND 0  
{Tp![u#-M  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] {]$IA,l<xW  
3SzthiM.&  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) G#VS!k&6  
"vo+iL<   
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) TXa^SJ  
N}u.@hP  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} g9a(QfK  
aAivS`X9$  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) sehJZH@x  
xv!dQ3  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Z5V_jBfj  
fq%<_  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 1M}bU4   
R]9Q(u@wI  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) }YQ|a']N?  
Y"H8|W]M(X  
　　上述两式相比可得 )}D/]p6Vi  
6EI= >@K  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) DB8!QOB',  
:=#Sg \UC  
半角公式 Vm9 .  
=uKS89J~X  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Y8*Rt`q  
Rz'V4y"M  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. FIi%;~}rO  
+=_/e/F  
和差化积 VJS]s{  
]FG\h-  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 3 X%h  
'2|R@nrfyB  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] _Hi6;x  
B~,I7%"{4  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] D*n>b%y  
%U$|%kW  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] QD>_T_n?a  
^|0~QjFZg  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) D*b4qAy+  
JP[9=Sa5  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) h3p;Dh:  
f /TEfMl:  
积化和差 @qPr}zE6  
"Ed].)f  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] xpuTy{S  
M+f3=Nz;'6  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] K !UxI;  
UC' u_;  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] D%G|a;FXP  
P]y3sH  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] MQ:CpCG0  
{t!]cD  
诱导公式 4M'}?:3Z  
Hn$I8%  
　　sin(-α) = -sinα z !-fc  
HuJywS ES4  
　　cos(-α) = cosα > iP)KyC  
X(+${&A  
　　sin(π/2-α) = cosα zs OTIV  
WR
dU)`Js  
　　cos(π/2-α) = sinα .IP41z i|  
e$ Z,R.  
　　sin(π/2+α) = cosα e*c:GyW*T=  
oP(_r  
　　cos(π/2+α) = -sinα V
b 9Yg)  
] ~jJrX/'  
　　sin(π-α) = sinα %-Xn$ni{5  
e3m
 A1  
　　cos(π-α) = -cosα qUhwJTK  
)w@&rmb  
　　sin(π+α) = -sinα Iv0bW?bN  
J6=B*JcU.  
　　cos(π+α) = -cosα 3[wSpp  
@xUZxwygr  
　　tanA= sinA/cosA @FG^`SB8  
!LRY6)T  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ZzUn8Ng*X  
x=Ef,rT  
　　tan（π/2－α）＝cotα 6~V(u!;  
60qia  
　　tan（π－α）＝－tanα eP1 XM  
w36ENANP  
　　tan（π＋α）＝tanα ` g:`Xe4
 
x_Nz5G[  
万能公式 V~ y0g`{  
)/<nn!07
$  
　　 2oD'w(Q  
&NilV{6#J  
其它公式
I(>l{  
\Y3I/#5e  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 [v67"RE7J  
0?Pj{h8KY  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 H[k^0CNb?t  
CVZyB  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 >|szJg
^Bb  
O/ 8S]E  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 en?4eK  
n7}o`Ad7  
　　对于任意非直角三角形,总有 +0-:pE/V/  
#(![%sNa *  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC xmWyB)?Zb  
0)4Vx9g#  
　　证: & z` =N-  
IFW!$  
　　A+B=π-C `"@^aDJf  
W8C. @Aw!  
　　tan(A+B)=tan(π-C) sm&cCK09f  
u2]RL&0(|=  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) UG}%o!  
QIeEM[a-  
　　整理可得 nX:tM{{W  
FU[#cz9  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC [+J=T?'Tz  
QzYddNLS  
　　得证 5O*CYE  
.QdQJssa6  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 <#L |F''Z  
%S_PrPz1  
其他非重点三角函数 u\WrE_J  
MoDx.go  
　　csc(a) = 1/sin(a) J]`DPs 7  
qIkw}k)  
　　sec(a) = 1/cos(a) D\9y(!: 0  
e?Zt5F^V  
　　 2,rvAIdf>  

BAgzZB{  
双曲函数 ]@K7'3K~\V  
AOK)uX  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ]{kA&{=};  
R\=P_TU1~  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 QR$s95qc  
.*:7p>F#O  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) .!W+9pD(s%  
_e*~I[M  
　　公式一： 7mF9oSCS  
Y11eB/)  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： S7e2y=#uI  
{7-g'>L#9  
　　sin（2kπ＋α）= sinα u+KhCzY^q  
'H%VyU  
　　cos（2kπ＋α）= cosα +5y>n%;  
f9}W;\(&W  
　　tan（kπ＋α）= tanα 0zRM  
oR^<MC4  
　　cot（kπ＋α）= cotα SkHf:O  
`7u:5:=wnO  
　　公式二： -\vIt(  
l%d.MWN"?  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： qF!eQdPL  
-4P+t^  
　　sin（π＋α）= -sinα Rj<:)Gg7f  
lv54p=Ls  
　　cos（π＋α）= -cosα AN+[Y,m~  
[eAMG&Ku  
　　tan（π＋α）= tanα D~M<?I%TY  
HWA8V_&}sd  
　　cot（π＋α）= cotα oU/hO  
B{hb9r  
　　公式三： $9 l8JR  
`.~v${  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： $ }^"LB  
}u=&3Pb  
　　sin（-α）= -sinα G,|;Y@cl  
34qND  
　　cos（-α）= cosα E(./^KXM  
y2n;
1wlO  
　　tan（-α）= -tanα _r% u(;,  
hH4Uvy+NL  
　　cot（-α）= -cotα nDh
*  
xmXj[Jo5w  
　　公式四： &2K L6C  
)v=fb;S=+  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： lI ^*<$opi  
f<!H,QY^  
　　sin（π-α）= sinα `4F-k@>ul  
 oEG  
　　cos（π-α）= -cosα _S\:A  
rVJR*R}9  
　　tan（π-α）= -tanα B.%H9Ge]Y  
X)4BdE>  
　　cot（π-α）= -cotα SKC0%+m~M\  
|}kGw_tH  
　　公式五： |PA l }o  
Fbb?#K&  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： WkwGzB  
*(b8(K5`  
　　sin（2π-α）= -sinα 9pen,mm  
5K*Gn+-7^  
　　cos（2π-α）= cosα t?q}>w N  
G CNa  
　　tan（2π-α）= -tanα T 
Qnzn:  
<
f-ufC:]  
　　cot（2π-α）= -cotα r:tBt?L  
P;kBl~;v  
　　公式六： NGA|sTE#  
m^~[  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： M{5B5 IWk  
<< U  
　　sin（π/2+α）= cosα W'}m+5d|  
D:Cw./  
　　cos（π/2+α）= -sinα $8RPFLy  
vlSPxykHc  
　　tan（π/2+α）= -cotα &06`3.  
t@N^&-n  
　　cot（π/2+α）= -tanα A2j#8ASni^  
VXxlD`|D  
　　sin（π/2-α）= cosα zEA1M"c"}G  
a$5N.L~d/  
　　cos（π/2-α）= sinα O-r Vcb  
t8vSX0\-  
　　tan（π/2-α）= cotα y1ZnqFs,  
<zX+IhcF>  
　　cot（π/2-α）= tanα vvG_KA]|  
5t`QxS>T  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 7u ~x@ 8  
}-+.zw^  
　　cos（3π/2+α）= sinα ]gCk4\  
d8^Phu-X  
　　tan（3π/2+α）= -cotα f=1zc  
_$?C4hq   
　　cot（3π/2+α）= -tanα 2_=lv>E)  
.?2gX'  
　　sin（3π/2-α）= -cosα c3+A_O5|  
zx-][:[%  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 2] N|Nq=n  
4z?y[a.H  
　　tan（3π/2-α）= cotα h30Gu8W  
^*-s+p=$  
　　cot（3π/2-α）= tanα =/C>) )s  
8Kpw;sK  
　　(以上k∈Z) G2q7{<{`F  
DeroH4@_  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ?MB`Dl:  
~Us^x  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = w_M0/AWo  
~*NT6Z"&  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ,rP%;[L  
3&F[l{  
　　√表示根号,包括{……}中的内容