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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 1s&[Oog  
I?@:d?p  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. "2&z;j  
9V/5T e  
　　1、三角函数本质： &MyHxi   
O|S5VQ  
　　三角函数的本质来源于定义 P [)/]D`Qd  
X#hF oI  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 {2 WYQ@  
f~ ).uQiQ  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Y5y \  
Rk5x<3$%d?  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： &HaN y  
g?o \,@9  
　　推导： uI x= y%r  
X)KR^~  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 N[{R_\  
q| z[-M  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 3!W37_  
g09~5  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) I2e6RY$  
un2!qE  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 }-ppWR!!5  
!S,z ]  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） o O[6(i^$  
1~\k5=&L  
　　[1] W ^z  
J3rC~81wl  
　　两角和公式 @EdwSXD `M  
\y#z]R  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB M]f=ER  
ONaQwkn6  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  54GIR  
[B6>pd  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 7A b =-x  
kLjGf*%q<  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 37*[0@  
B<jCJIKW   
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 2DRL-!V_  
\!?12Ke c  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 3)<h1XW%  
& w} 6  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  1ww+'VII  
cUHUugu  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) gg1XTz  
%~&bG@@Zb  
倍角公式 d^#w8o@2  
|\ ylA*  
　　Sin2A=2SinA•CosA "C{#+"1  
NGChC /tHd  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 4re$S'3~B  
:a/. %nT  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） _ Vm>~N/6  
Qo]5F5#+  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） U9wlo5Pv  
xzXsmEL\  
三倍角公式  Vm 6FH  
T_ *1b5  
　　 LMINDS7  
wmb?NZ7:  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) }oIRtrMs  
5'm=Pu }r  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) U Sxsz$  
O4nU.pS '  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) p";^OM  
 ;YOO  
三倍角公式推导 eKt|ug31S  
UW}8^xkV  
　　sin3a ?@y9=V  
P N69u*id  
　　=sin(2a+a) #te$D  
!YC$h2b&1  
　　=sin2acosa+cos2asina M4_$DsF  
.IU{*pqh  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina `<u//.(PZ  
%^y Iaa   
　　=3sina-4sin³a J";*]f,B  
&X` mc+YqJ  
　　cos3a a[bDcO  
V3k3;FM.  
　　=cos(2a+a) ix$0h9&-S  
[lq_`?v/  
　　=cos2acosa-sin2asina &"\D/}x  
{p6Vwa  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 0eMT}4 Z  
3mgt'XKa  
　　=4cos³a-3cosa gsQ=~4`u  
*/E'$ou  
　　sin3a=3sina-4sin³a C0T g xs  
6i={6dbtp  
　　=4sina(3/4-sin²a) 8J_J157   
VRC^x4'  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 3J9g"VYaQ  
(GOTF  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) HL/oF 8  
_ .E%+~  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) {l ERQk  
VQKQU- %'  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] VC 21dHL2  
9g~54cF6_4  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Tj+5G/%U4  
,OS9 F8^  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ccMtB M8+$  
#xbB. $  
　　=4cosa(cos²a-3/4) );nGd7/l0B  
\@a9/X1s  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] N^^Uw}g`  
M#I%Rga*  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) /j> i@ +B  
rlY56],<  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 5 t<; <R  
kA pas  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 7m@kYg!  
n2$ H{ [/U  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 8G s)}pm]q  
cbG4 3f  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 4\aEv L<  
aK|^?' t  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] TRRDA$]9o  
]R'"$c  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 7{ #aI>Wz  
A'8Is# ^A  
　　上述两式相比可得 -~5K  
%l Zq0s%[f  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) -xT HiAP`  
.R^ya^,.  
半角公式 et#PH;^8-  
KjOw^ |A  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); g;Q6N'R y  
3 n> ^d E  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. p,tFt a  
?:]j"T  
和差化积 5A\ Y!<  
D!d1\)=  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] u \lj2a  
cmUs%f6  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] H"4T<  
B&YORcg.  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] RP[nB+O]f  
wrV8FQH;;  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] |+Xs}1`  
D> Lw4U<&  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ?8^n}z?Ab  
Mo~d0v7  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) n y: @j  
35 eQ_<c  
积化和差 .%bZI6WW  
U${4(,tu  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] .r>gGV5  
aSI#^?!a!@  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] MgJZ=hio  
r31g2Q  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ? Jf#&>  
'zU[_l  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] p1\8m;6`  
Y fc-|H7A  
诱导公式 {>YZr|F  
V,eG8w=k  
　　sin(-α) = -sinα DS^_p480  
` cDX$$5  
　　cos(-α) = cosα KY"(ds\dT  
go&7??q#  
　　sin(π/2-α) = cosα &^7|*-A  
1?^3;}6p  
　　cos(π/2-α) = sinα da4@G ]  
u aSX_0 B  
　　sin(π/2+α) = cosα |]oBvhBTU  
wcr8yLFc  
　　cos(π/2+α) = -sinα f$@8;=PQY  
9QDjJ<2  
　　sin(π-α) = sinα 4?_l]sgh*j  
%<vc{!ZuaW  
　　cos(π-α) = -cosα 4Qn dJP  
W_~I+B^/.|  
　　sin(π+α) = -sinα ,NDNy.M  
6C7 c!  
　　cos(π+α) = -cosα v&c/i ?  
<'Qa}x/I  
　　tanA= sinA/cosA [a:$>.a  
]^5[P L2  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα qIH}&l8U+  
 UD:n\Hv  
　　tan（π/2－α）＝cotα f f$N|*  
BE6&AO.LC  
　　tan（π－α）＝－tanα =ppfPC^  
_4]JctO#  
　　tan（π＋α）＝tanα o}J &HEe  
@VR,Q:>/:  
万能公式 :{zIXN3[  
0kYB])  
　　 *HHaSk  
c(k6>  
其它公式 @WhDY!p;zU  
m0Uv]!lN%  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 {r+ ;k(  
.)bX6 2b  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 lR0`4>  
7`SR+o}xn  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 `Q<Z&r^,f  
sLhD@+O:  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 %ZQntO  
E.E`FyL:  
　　对于任意非直角三角形,总有 { ]e@8C#  
G3nUIO*7r  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC jQ>E4Yn@H  
@J_9|[va  
　　证: $TZX(do  
h5bW/pT|c  
　　A+B=π-C 2?%GakKu  
d>wo)#,F  
　　tan(A+B)=tan(π-C) UM{,O0d&  
0V!n)Bh-<  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) pLj#0$H\  
#z}TN8^  
　　整理可得 @o"GoTcv  
6[p Z$$  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Eo?$Ha   
D 63| E:l  
　　得证 M[^x  
9]/P` !2;b  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Rpv"SE!M  
"U<I"xi8  
其他非重点三角函数 &(oKUdJZ  
S" | ! t  
　　csc(a) = 1/sin(a) V, R @Go  
[LNZSf0l  
　　sec(a) = 1/cos(a) H?=~j"any  
h)F^,I8  
　　 \ S"s l^v  
5DoYNuC  
双曲函数 <~oA/P  
A cKpZ/  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 rv .v0G"  
T9D[{a6  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 h -b+'h  
"-{?Ov  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) t=%H(h!T  
:a+L(2  
　　公式一： $(~J2J}  
AO[Et/lV  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Egw:-'i  
SB[; (O  
　　sin（2kπ＋α）= sinα tRa=0[@l  
\s~  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Wava*,5O  
Dvr}paEr  
　　tan（kπ＋α）= tanα 2Ux07pHI4  
j!-raoc  
　　cot（kπ＋α）= cotα mvQHgy}  
0+uB_~}_  
　　公式二： 5Go\i6g6  
4tEUneW  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 5d:|S+. e7  
(jT /U}(4  
　　sin（π＋α）= -sinα #Z>r8?}  
^7&pf%tv  
　　cos（π＋α）= -cosα 4j#c [DP1  
~s=g  
　　tan（π＋α）= tanα Yao(q [  
b@iDMx3r  
　　cot（π＋α）= cotα nN}_aPSZ  
}Qwna7  
　　公式三： ?q|b+4  
uA V:;qT  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： HuGRS  
$ClfkF&\[  
　　sin（-α）= -sinα Q<?c]/:  
]lOE*R&F  
　　cos（-α）= cosα f'fFB`g5  
.8=E\Z+  
　　tan（-α）= -tanα ]NxG0ysM^  
_"gN u ]Y  
　　cot（-α）= -cotα =upSFFS  
Y+#}4fRf-  
　　公式四： \q'N.]  
`IC5I:M  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： |q0.,#F  
EzAt:[1(z  
　　sin（π-α）= sinα !/b^$T^}P  
}d15qkwx  
　　cos（π-α）= -cosα K\ Se=  
A\.x=BGN  
　　tan（π-α）= -tanα Omvh\O7}DW  
 #2.jWVa  
　　cot（π-α）= -cotα XB>^ q;Y`h  
yZ%B(.  
　　公式五： r6G4^y? n  
* 1_ N!;  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 4D06O/<L  
i'1wBBa(  
　　sin（2π-α）= -sinα PRD $y4~OQ  
lFM/LosY  
　　cos（2π-α）= cosα F7K*+o0=  
hkiLo1%  
　　tan（2π-α）= -tanα -t-::y}% 8  
nmqu8y  
　　cot（2π-α）= -cotα L]nUNgi:  
m'1Pm|_  
　　公式六： p%8k t ]  
@PJ4q B]  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： =G P) 6  
N9\$S>D\i  
　　sin（π/2+α）= cosα JcKA$i5Q  
`qfKuUX<1  
　　cos（π/2+α）= -sinα jo <(XX  
~em~XqF@  
　　tan（π/2+α）= -cotα ]j]RxiH  
!J6 >s(#%  
　　cot（π/2+α）= -tanα $#NNJ;CSe  
|Ag@c*  
　　sin（π/2-α）= cosα ,7.PHgHd  
] ,~7_K[  
　　cos（π/2-α）= sinα rTCJvx[  
09~TiV}W{  
　　tan（π/2-α）= cotα $SJliyj#  
)N@kf59XB  
　　cot（π/2-α）= tanα ,o[]R[  
Jbz i[O{E  
　　sin（3π/2+α）= -cosα nmu2_M2L  
d>5icBE~  
　　cos（3π/2+α）= sinα ?Abbn]j  
7(ROKQo  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 9 0wG_$L  
,W-Q$ub  
　　cot（3π/2+α）= -tanα U6$ (VR 9  
oRQw5lOL  
　　sin（3π/2-α）= -cosα C'cC14GH  
HG9?  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 5bepl7MC  
SHi ]\,A  
　　tan（3π/2-α）= cotα :(;0'd/c^  
.48, i7Yh  
　　cot（3π/2-α）= tanα 0MZQgw!3_  
Y "s'-R  
　　(以上k∈Z) Z2 nhs8B  
qb`a2;bt  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 [itE#}Kh  
|HA%Js2   
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = qrp"WCv6:'  
Ld=g=^5G~  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 9o7MucH d  
$n[%L[  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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