三角函数内容规律 1s&[Oog
I?@:d?p
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. "2&z;j
9V/5T e
1、三角函数本质: &MyHxi
O|S5VQ
三角函数的本质来源于定义 P [)/]D`Qd
X#hF oI
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 {2
WYQ@
f~ ).uQiQ
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 Y5y \
Rk5x<3$%d?
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: &HaNy
g?o
\,@9
推导: uIx=y%r
X)KR^~
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 N[{R_\
q|
z[-M
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 3!W37_
g 09~5
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) I2e6RY$
un2!qE
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 }-ppWR!!5
!S,z]
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) o O[6(i^$
1~\k5=&L
[1] W
^z
J3rC~81wl
两角和公式 @EdwSXD `M
\y#z]R
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB M]f=ER
ONaQwkn6
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB 54GIR
[B6>pd
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 7A
b
=-x
kLjGf*%q<
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 37*[0@
B<jCJIKW
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 2DRL-!V_
\!?12Ke
c
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 3)<h1XW %
&w} 6
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 1ww+'VII
cUHUugu
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) gg1XTz
%~&bG@@Zb
倍角公式 d^#w8o@2
|\ ylA*
Sin2A=2SinA•CosA " C{#+"1
NGChC/tHd
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 4re$S'3~B
:a/.%nT
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) _ Vm>~N/6
Qo]5F5#+
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) U9wlo5Pv
xzXsmEL\
三倍角公式 Vm
6FH
T_
*1b5
LMINDS7
wmb?NZ7:
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) }oIRtrMs
5'm=Pu }r
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) U Sxsz$
O4nU.p S
'
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) p";^OM
;YOO
三倍角公式推导 eKt|ug31S
UW}8^xkV
sin3a ?@y9=V
P N69u*id
=sin(2a+a)
#t e$D
!YC$h2b&1
=sin2acosa+cos2asina
M4_$DsF
.IU{*pqh
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina `<u// .(PZ
%^y
Iaa
=3sina-4sin³a J"; *]f,B
&X`mc+YqJ
cos3a a[bDcO
V3k3;FM.
=cos(2a+a)
ix$0h9&-S
[lq_`? v/
=cos2acosa-sin2asina &"\D/}x
{p6Vwa
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 0eMT}4 Z
3mgt'XKa
=4cos³a-3cosa gsQ=~4`u
*/E'$ou
sin3a=3sina-4sin³a C0Tg
xs
6i={6dbtp
=4sina(3/4-sin²a) 8J_J157
VRC^x4'
=4sina[(√3/2)²-sin²a] 3J9g"VYaQ
(GOTF
=4sina(sin²60°-sin²a) HL/oF
8
_.E%+~
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) {l ERQk
VQKQU-
%'
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] VC21dHL2
9g~54cF6_4
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Tj+5G/%U4
,OS9
F8^
cos3a=4cos³a-3cosa ccMtB M8+$
#xbB.$
=4cosa(cos²a-3/4) );nGd7/l0B
\@a9 /X1s
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] N^^Uw}g`
M#I%Rga*
=4cosa(cos²a-cos²30°) /j> i@ +B
rlY56],<
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 5
t<; <R
kA
pas
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 7m@kYg!
n2$
H{ [/U
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 8G
s)}pm]q
cbG43f
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 4\aEv
L<
aK|^?' t
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] TRRDA$]9o
]R'"$c
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 7{ #aI>Wz
A'8Is# ^A
上述两式相比可得
-~5K
%l
Zq0s%[f
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) -xT
HiAP`
.R^ya^,.
半角公式 et#PH;^8-
KjOw^
|A
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); g;Q6N'Ry
3 n>^dE
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. p,tFt
a
?:]j"T
和差化积 5A\Y!<
D!d1\)=
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] u \l j2a
cmUs%f6
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] H"4T<
B&YORcg.
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] RP[nB+O]f
wrV8FQH;;
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] |+Xs}1`
D>Lw4U<&
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ?8^n}z?Ab
Mo~d0v7
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) n
y:
@j
35
eQ_<c
积化和差 .%bZI6WW
U${4(,tu
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] .r>gGV5
aSI#^?!a!@
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] MgJ Z=hio
r31g 2Q
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ? Jf#&>
'zU[_l
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] p1\8m;6`
Yfc-|H7A
诱导公式
{>YZr|F
V,eG8w=k
sin(-α) = -sinα DS^_p480
`
cDX$$5
cos(-α) = cosα KY"(ds\dT
go&7??q#
sin(π/2-α) = cosα &^7|*-A
1?^3;}6p
cos(π/2-α) = sinα da4@G
]
u
aSX_0 B
sin(π/2+α) = cosα |]oBvhBTU
wcr8yLFc
cos(π/2+α) = -sinα f$@8;=PQY
9QDjJ<2
sin(π-α) = sinα 4?_l]sgh*j
%<vc{!ZuaW
cos(π-α) = -cosα 4QndJP
W_~I+B^/.|
sin(π+α) = -sinα ,NDNy.M
6C7c!
cos(π+α) = -cosα v&c/i?
<'Qa}x/I
tanA= sinA/cosA [a:$>.a
]^5[P L2
tan(π/2+α)=-cotα qIH}&l8U+
UD:n\Hv
tan(π/2-α)=cotα ff$N|*
BE6&AO.LC
tan(π-α)=-tanα =ppf PC^
_4]JctO#
tan(π+α)=tanα o}J &HEe
@VR,Q:>/:
万能公式 :{zIXN3[
0kYB])
*HHaSk
c(k6>
其它公式 @WhDY!p;zU
m0Uv]!lN%
(sinα)^2+(cosα)^2=1 {r+
;k(
.) bX62b
1+(tanα)^2=(secα)^2 lR0`4>
7`SR+o}xn
1+(cotα)^2=(cscα)^2 `Q<Z&r^,f
sLhD@+O:
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 %ZQntO
E.E`FyL:
对于任意非直角三角形,总有 {
]e@8C#
G3nUIO*7r
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC jQ>E4Yn@H
@J_9|[va
证: $TZX(do
h5bW/pT|c
A+B=π-C 2?%GakKu
d>wo)#,F
tan(A+B)=tan(π-C) UM{,O0d&
0V!n)Bh-<
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) pLj#0$H\
#z}TN8 ^
整理可得
@o"GoTcv
6[p Z$$
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Eo?$Ha
D
63| E:l
得证 M[^x
9]/P`!2;b
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Rpv"SE!M
"U<I"xi8
其他非重点三角函数 &(oKUdJZ
S"
| !
t
csc(a) = 1/sin(a) V,R
@Go
[LNZSf0l
sec(a) = 1/cos(a) H?=~j"any
h)F^,I8
\
S"s
l^v
5DoYNuC
双曲函数 <~oA/P
A cKpZ/
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 rv .v 0G"
T9D[{a6
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 h
-b+'h
"-{?Ov
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) t=%H(h!T
:a+L(2
公式一: $(~J2J}
AO[Et/lV
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: Egw:-'i
SB[;(O
sin(2kπ+α)= sinα tRa=0[@l
\s~
cos(2kπ+α)= cosα Wava*,5O
Dvr}paEr
tan(kπ+α)= tanα 2Ux07pHI4
j!-raoc
cot(kπ+α)= cotα mvQHgy}
0+uB_~}_
公式二: 5Go\i6g6
4tEUneW
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: 5d:|S+. e7
(jT /U}(4
sin(π+α)= -sinα #Z>r8?}
^7&pf%tv
cos(π+α)= -cosα 4j#c [D P1
~s=g
tan(π+α)= tanα Yao(q
[
b@iDMx 3r
cot(π+α)= cotα nN}_aPSZ
}Qwna7
公式三: ?q|b+4
uA
V:;qT
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: HuGRS
$ClfkF&\[
sin(-α)= -sinα Q<?c]/:
]lOE*R&F
cos(-α)= cosα f'fFB`g5
.8=E\Z+
tan(-α)= -tanα ]NxG0ysM^
_"gNu
]Y
cot(-α)= -cotα =upSFFS
Y+#}4fRf-
公式四: \q'N.]
`IC5I:M
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: |q0.,#F
EzAt:[1(z
sin(π-α)= sinα !/b^$T^}P
}d15qkwx
cos(π-α)= -cosα K\
Se=
A\.x =BGN
tan(π-α)= -tanα Omvh\O7}DW
#2.jWVa
cot(π-α)= -cotα XB>^ q;Y`h
yZ%B(.
公式五: r6G4^y?
n
*1_N!;
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: 4D06O/<L
i'1wBBa(
sin(2π-α)= -sinα PRD
$y4~OQ
lFM/LosY
cos(2π-α)= cosα F7K*+o0=
hkiLo1%
tan(2π-α)= -tanα -t-::y}% 8
nmqu8y
cot(2π-α)= -cotα L]nUNgi:
m'1Pm|_
公式六: p%8kt ]
@PJ4q
B]
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: =G P)
6
N9\$S>D\i
sin(π/2+α)= cosα JcKA$i5Q
`qfKuUX<1
cos(π/2+α)= -sinα jo<(XX
~em~XqF@
tan(π/2+α)= -cotα ]j]RxiH
!J6 >s(#%
cot(π/2+α)= -tanα $#NNJ;CSe
|Ag@c*
sin(π/2-α)= cosα ,7.PHgHd
],~7_K[
cos(π/2-α)= sinα rTCJvx[
09~TiV}W{
tan(π/2-α)= cotα $SJliyj#
)N@kf59XB
cot(π/2-α)= tanα ,o[]R[
Jbz i[O{E
sin(3π/2+α)= -cosα nmu2_M2L
d>5icBE~
cos(3π/2+α)= sinα ? Abbn]j
7(ROKQo
tan(3π/2+α)= -cotα 90wG_$L
,W-Q$ub
cot(3π/2+α)= -tanα U6$ (VR
9
oRQw 5lOL
sin(3π/2-α)= -cosα C'cC14GH
HG9?
cos(3π/2-α)= -sinα 5bepl7MC
SHi]\,A
tan(3π/2-α)= cotα :(;0'd/c^
.48,
i7Yh
cot(3π/2-α)= tanα 0MZQgw!3_
Y "s'-R
(以上k∈Z) Z2nhs8B
qb`a2;bt
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 [itE#}Kh
|HA%Js2
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = qrp"WCv6:'
Ld=g=^5G~
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 9o7MucH
d
$n[%L[
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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