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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 [ MqR)  
_ 48 -@([  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. y8hq}y.sx  
LSCg4W;*m  
　　1、三角函数本质： yA$$L  
VH7TH>jA  
　　三角函数的本质来源于定义 eaTzc*Hw6  
! 4,4T  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Hc_4pC  
]j^ls7#  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 3+iC`5id  
s{\oq[t8|  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ?[-Xqpn =  
JN t-@5  
　　推导： Uk|79F  
j u+IW  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 #M0> Mo ?}  
H-NR\ZF  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 0W f2  
YJkv"1S  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 2ix&Y<x  
k),]D}[y  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Cd~ @4  
N13VT:Cs  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ja))(xcA  
`dt;NY.  
　　[1] d_!WauTP  
DsqwoUN  
　　两角和公式 Li ojGOp  
wfF.r\{m  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB WFVf l  
QN|x.9  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Oa=tPUE  
u]l&P{2X  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB lJ5isbu`n@  
:_\BmFTe  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 4%Z^PS(]1  
6DLrp0,s  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) F CIfGo Wb  
d`Fm e_  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) "T6<']/2  
1AnPY*>M:  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  4VuX^1  
aoy<i>}f  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) IF#vTAR8  
(1[]~?+  
倍角公式 C #?^i ,  
mT<Q;=B[sx  
　　Sin2A=2SinA•CosA zQ!ru/>  
{2Cx7#  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 (n`\F-+  
~t 3D  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） vo^Z6'S u  
X(P s>  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） @K-d8Gh'  
%KU@h23G  
三倍角公式 1ng"t&l  
$v60.,>16  
　　 Ya[nEA  
r%AM (.?A/  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) (-Nz,G*o  
y)t,gy&G%  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) /BH)5$#  
5Bnz4g4  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) )q2T9Lg  
cBbxMAZF  
三倍角公式推导 HWMj|.+3  
v;@\  nK  
　　sin3a = ${J6V  
WW3.'VR   
　　=sin(2a+a) 7A=LA1o  
^P1~Lso  
　　=sin2acosa+cos2asina Kv<}Cb  
P@\,g2}>  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina `uD; Ku  
#MAF=U }0  
　　=3sina-4sin³a  =<v'3  
zU'!;];S#  
　　cos3a =_\,M91b  
O6R42,  
　　=cos(2a+a) cZ`wP8$3  
wN`6vzXR  
　　=cos2acosa-sin2asina 6&y}zL62  
dDIx1}}-  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa *5r($^`  
<J2t;  
　　=4cos³a-3cosa \xI7<Vm&  
2]1@!T|=  
　　sin3a=3sina-4sin³a ]'f#Q]nf  
EQ~];FtwM3  
　　=4sina(3/4-sin²a) o%==a!p  
{4*8Yg  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] H c f\=9  
$5+QBkgo0  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ;!m8vgch(  
^^IQEK#mBP  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) wqu'aom  
^/K]v.;  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] :mi!Hd^  
Kaq?lL}L  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 1IreDqTD6  
b~!&A~ZJ  
　　cos3a=4cos³a-3cosa AJHY#%  
urt7F@V{  
　　=4cosa(cos²a-3/4) WBR2 h58/  
GgF vIcR  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] , /moU34  
)Pphq  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) .!cUuV$  
1wWJWo)L2  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 84wBrt c  
vv]:skS9  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} +'Vtf7xoS  
U`T:iAa^  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) <$3 o8+#  
uZK^bktt  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] )VZD&Vh"E  
QMy@rm'N^  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] j&&GzpC6  
mUf2L0.  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) CZ3LRk  
@v: wVD_Q@  
　　上述两式相比可得 2QWB}!]  
9l|9>  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 3%mR<b9m  
EHm fC=&<  
半角公式 gr\}{wx2  
)73E7$  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Eb5iO  
yDwD0+r|  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. XYr%&]tO  
$ZUI% Mo  
和差化积 |=L}^?Q$  
MWX[`G4O  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] B OnP*1%l  
4c-V"x{%U  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] `kBluX~f0  
}3kQg1-[o|  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] >wum$M|8  
T :^rFuF  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] {Kj~*6  
)9%vKho3'  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) !"\+~ Wj  
;w,HL%>e  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) a 7^7|x}(  
c ]c/Rf  
积化和差 y}|3FCv1`I  
n:8IY.6&i  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] tI^] v  
N4$Pn7Q^|  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] UE2D)3x  
s]?X6P/~hU  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] w*o:tnj*  
Nl) R(]V  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ^`d ^@_  
\p[XkSw  
诱导公式 T9[=?-  
T$KZQ5E?B  
　　sin(-α) = -sinα ]Ze09$G  
N6s,4e^  
　　cos(-α) = cosα fy 9mjPu  
Q'&= {.XV  
　　sin(π/2-α) = cosα &$*bP}T[e  
LOY2\| g%  
　　cos(π/2-α) = sinα C8e>V483V  
4M0\HT"  
　　sin(π/2+α) = cosα x*Jw :=,3<  
ue')zb  
　　cos(π/2+α) = -sinα Ye q'U;fT  
)D0UWxzfi  
　　sin(π-α) = sinα }8f{#8>d4  
j{S\QT&i  
　　cos(π-α) = -cosα IK< 4x3  
lAY[kdZ  
　　sin(π+α) = -sinα q<vBB @'F  
ldIlIcSs{  
　　cos(π+α) = -cosα zn:~wZ  
VyVIx HX  
　　tanA= sinA/cosA >n{55  
7E KN\  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Pz 46:}`  
C^\ (M83&x  
　　tan（π/2－α）＝cotα H!]T *  
/VK? [Z`@  
　　tan（π－α）＝－tanα +J 0'ib  
m"vjfhFy  
　　tan（π＋α）＝tanα &pF|Vhh8  
+J528LhI"  
万能公式 rW>JpzP  
9rfg {H  
　　 1%Q)Ac8  
! ^Dy7(k  
其它公式 xR<"Xz#  
|u7R&. @  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 vV"M5{#v  
it?^vp  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2  Q`)L,]_  
Ue4^Jo  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 0Ys,x~>`r!  
V!j<Kl  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ,7x\t*)wn  
)6;sFLD  
　　对于任意非直角三角形,总有 C`@Ag  
~{7vz!  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC f\=&5 .e  
+v;"~Cd  
　　证: K ,$mO/JS  
br,6atmq  
　　A+B=π-C Czz2t8K6'  
, CVt(y{Lt  
　　tan(A+B)=tan(π-C) f(D['G  
kMANx?v  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) odb{$RIo  
s#eA w<Pw  
　　整理可得 \mR4s'NX  
^)\V176}_  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC T'Mqkk n  
MUi :MtME  
　　得证 6W^Y(fNl  
Le -[5  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 +E(xb7hn  
vr5oq)m hq  
其他非重点三角函数 )q5{*y>\6  
m`/2 O jI  
　　csc(a) = 1/sin(a) Uw(CNPHB  
HY1S]vW  
　　sec(a) = 1/cos(a) 3 r'CBm  
gu|R~c  
　　 \@.yCyp  
r^xE\{  
双曲函数 'Hzr`T1{  
T_=]K  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ng.7hP? 7  
AHS'L'E9--  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 r >-H  
3}os*G)  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) w+L /a>  
MOO|e=!  
　　公式一： uC5 cs=S  
P"gJh  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： T8;Dp/&}d  
udVgb-?  
　　sin（2kπ＋α）= sinα  lFJ7cw  
pa `C47\~  
　　cos（2kπ＋α）= cosα $](<39  
^V@1%a$w^  
　　tan（kπ＋α）= tanα }`1VaM  
4Q<~L;1  
　　cot（kπ＋α）= cotα 8\aF<px0+  
Z8@*Qc?0|t  
　　公式二： 1W1:uJ:~9  
|e+f7 7?A  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Z\t7' V  
w@ES"vFG`  
　　sin（π＋α）= -sinα Vn1<jo  
]A g;l  
　　cos（π＋α）= -cosα O5mRtord  
g4:N HP  
　　tan（π＋α）= tanα < B |QQ9L  
bfTv*TxY  
　　cot（π＋α）= cotα STO'Unu  
Jd=E sMC  
　　公式三： 2kH'Hm?u5N  
[fSz\^]%K  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： br/&9<t  
V7TI1/a,4-  
　　sin（-α）= -sinα yTgOi/T  
UG(w$n4  
　　cos（-α）= cosα HQ8G2~"mG  
=0|O)Nn  
　　tan（-α）= -tanα Z3 KJ[  
*1 }IQSvM  
　　cot（-α）= -cotα & FPVB4g<  
hUjs$KG[  
　　公式四： zS0^p`N  
nV"\{+-L  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： !].JK6]  
rgaSVkb5  
　　sin（π-α）= sinα !~zQNPV8e  
w1ZN(Z|Ss}  
　　cos（π-α）= -cosα [iy}01Ls  
,jVyS8bK  
　　tan（π-α）= -tanα m4V[FF  
2-3M"m5u  
　　cot（π-α）= -cotα M,9_1x:`2  
mm$.B`N}~  
　　公式五： g jq 2xX1C  
U: v `=G  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： (W|.KjzeO  
k}vbHariv  
　　sin（2π-α）= -sinα  u7Wy>  
Kl`30gi  
　　cos（2π-α）= cosα cw>$1;n[z  
8VF/UxQgs  
　　tan（2π-α）= -tanα j[<o]e78)o  
J-],V'ove  
　　cot（2π-α）= -cotα 7;jgwL  
b}X_o`N  
　　公式六： V'I|le,O"  
j^rG[UCl  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 7X q}kX  
NO`Ik=  
　　sin（π/2+α）= cosα u#Dw* 42  
RMB&<r>C  
　　cos（π/2+α）= -sinα `DUb;y2x  
^ffpJ!-5(  
　　tan（π/2+α）= -cotα TO= s4:%  
pir` J  
　　cot（π/2+α）= -tanα B/;cm8  
@&G~BD$'w  
　　sin（π/2-α）= cosα <>C]sYVx  
uvN<J+Gy  
　　cos（π/2-α）= sinα &z-CP4  
"`2Y0>jq  
　　tan（π/2-α）= cotα 9nLnk\Y:  
$Uxe:fKU:  
　　cot（π/2-α）= tanα $H5~&_'n  
#BpU18  
　　sin（3π/2+α）= -cosα <h9M:  
|8s#fZ!P  
　　cos（3π/2+α）= sinα ,q)Rr[  
{S)s!NmK  
　　tan（3π/2+α）= -cotα i|#N%3@  
Nq-LD  
　　cot（3π/2+α）= -tanα [][F9b6{  
k4-?0;$vn  
　　sin（3π/2-α）= -cosα vG'lG  
t8`)Ie4  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 6#Z_`j9=  
902_%^O  
　　tan（3π/2-α）= cotα /&!Q1t*}=  
:T$p'Wx(d  
　　cot（3π/2-α）= tanα eIpm\}W8!  
>2iQLG  
　　(以上k∈Z) RTo6a)#f*  
xW1r 45  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ~EWu\:~f  
{{+T  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = YmyA(QZwT  
G/.@80%v+  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ~\lLQD95  
 2tk\?lV  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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